مدتی قبل در لینکدین، نوشتاری از دوست عزیز جناب امیرعلی امیرحمزه Amirali Amirhamzeh گرامی در باب فاصله خواندم که ایشان به لحاظ فلسفی، به معانی مختلفی از فاصله و دوری پرداخته بودند. این موضوع ریشه‌‌های فیزیکی بسیار جالبی دارد که پرده از بنیادین‌ترین قوانین طبیعت بر می‌دارد.
من در اینجا می‌خواهم یک ادعایی بکنم که برخلاف دانسته‌های معمول ماست و آن اینکه کوتاه‌ترین فاصله‌ی بین دو نقطه، همواره خط راست نیست. اما این دقیقا نقض آن چیزی‌ست که ما تحت عنوان قضیه‌ی حمار می‌شناسیم. قضیه‌ی حمار به ما می‌گوید که کوتاه‌ترین فاصله‌ی بین نقطه‌ی الف و نقطه‌ی ب، خط راستی‌ست که این دو نقطه را به یکدیگر متصل می‌کند. علت اینکه اسم این قضیه را قضیه‌ی حمار (الاغ) گذاشته‌اند نیز این است که حتی حمار هم می‌داند که اگر در نقطه‌ی الف قرار داشت و در نقطه‌ی ب برای او کمی علوفه گذاشته بودند، خط مستقیم را بگیرد تا زودتر به علوفه در نقطه‌ی ب برسد. اما چیزی که ما بالاتر ادعا کردیم به ظاهر خلاف این بود، چرا که گفتیم همیشه خط مستقیم بین دو نقطه، کوتاه‌ترین فاصله نیست. این یک واقعیت فیزیکی‌ست و من در اینجا قصد ندارم با تغییر هندسه‌ی مسطح به هندسه‌ی کروی، این قضیه‌ی حمار را نقض کنم.
اجازه دهید با طراحی یک آزمایش این موضوع را بررسی کنیم. در ویدئوی زیر می‌خواهیم سه توپ را از بالای سطح شیبدار یعنی نقطه‌ی الف، رها کنیم تا تحت تاثیر جاذبه از طریق یکی از سه مسیرها موجود، به نقطه‌ی ب در پایین سطح شیبدار برسند.
مسیر بالا یک مسیر مستقیم و خط راست است. مسیر وسط یک منحنی‌ست و مسیر پایین شبیه یک پله است. همه می‌دانیم که کوتاه‌ترین فاصله بین نقطه‌ی بالا و پایین سطح شیبدار همان مسیر بالایی‌ست. من وقتی می‌گویم کوتاه‌ترین فاصله یا shortest path، شما را بین دو مفهوم متفاوت رها کرده ام. اگر مفهوم کوتاه‌ترین فاصله‌ی مکانی باشد، مسیر بالا کمترین فاصله را دارد. چون طبق قضیه‌ی حمار می‌دانیم که کوتاه‌ترین فاصله‌ی بین دو نقطه، خط مستقیمی‌ست که آن دو نقطه را به یکدیگر متصل می‌کند. اما اگر منظورمان فاصله‌ی زمانی باشد چطور؟ اینجا دیگر قضیه‌ی حمار صادق نیست.
برخلاف چیزی که ما انتظار داریم، مسیر منحنی وسط کوتاه‌ترین فاصله‌ی بین دو نقطه است. یعنی توپی که در مسیر وسط قرار دارد در کوتاه‌ترین زمان ممکن به پایین سطح شیبدار می‌رسد که این برخلاف شهود یا intuition ماست. چون ما انتظار داشتیم که توپی که در مسیر مستقیم قرار دارد، زودتر به پایین برسد. همانطور که می‌بینید، در این مسابقه توپ مسیر مستقیم حتی دوم هم نشد، بلکه دیرتر از همه به پایین رسید.
اولین بار ریاضیدان بزرگ سوئیسی یوهان برنولی بزرگ (واقعا بزرگ، اصلا هرچقدر درباره‌ی او بگوییم کم گفتیم) در سال ۱۶۹۶ میلادی موفق شد به کمک حساب دیفرانسیل، دلیل این موضوع را بدرستی نشان دهد. این مساله در فیزیک و ریاضیات تحت عنوان مساله‌ی براکیستوکرون شناخته می‌شود و به منحنی وسطی هم منحنی براکیستوکرون یا Brachistochrone curve می‌گویند. علت اینکه این مسیر بهینه است این است که به جسم اجازه می‌دهد در ابتدای فرود به دلیل شیب اولیه تندتر، سرعت بیشتری بگیرد و در عین حال مسافت کلی پیمایش را به حداقل برساند. جالب است بدانید که این پاسخ، مستقل از جرم جسم و شدت جاذبه است و تنها شرط‌های آن این است که اولا اصطکاک نباشد یا ناچیز باشد، دوم اینکه در ابتدای مسیر جسم را رها کنیم و آن را هل ندهیم. پس دیدیم که کوتاه‌ترین فاصله بین دو نقطه همواره خط مستقیم نیست.
– ابا اباد