مدتی قبل که چندین نوشتار راجع به اشکالات استقراء علمی (induction) منتشر نمودم، یکی از اساتید محترم ریاضیات که از دنبال کنندگان صفحه‌ی ابا اباد هستند، نکته ای را گوشزد نمودند که احساس کردم شایسته است در نوشتاری مجزا بدان بپردازیم و آن اینکه تمام اشکالاتی که راجع به روش استقراء وجود دارد، مربوط به استقراء علمی‌ست و استدلال استقرایی در ریاضیات، روشی بسیار دقیق و قابل قبول است، اشکالی نیز بر این روش وارد نیست و به قول معروف مو لای درز آن نمی‌رود. ما در فلسفه‌ی علم وقتی صحبت از استقراء می‌کنیم، منظورمان استقراء علمی‌ست که با استدلال استقرایی در ریاضیات کاملا متفاوت است. بد نیست در اینجا و برای درک تفاوت استقراء علمی و استقراء ریاضیاتی، با مثال‌هایی این دو را مقایسه کنیم.
فرض کنید شما به دریاچه‌ای در میان کوه‌های آلپ رفته اید و در این دریاچه، تعداد زیادی قو وجود دارد. البته اصلا نمی‌دانم که دریاچه‌های درون کوه‌های آلپ قو دارند یا نه، ولی می‌توانیم چنین چیزی را تصور کنیم. شما در قالب یک تیم تحقیقاتی به آنجا رفته اید و می‌خواهید ببینید که قوهای این دریاچه سیاه هستند یا سفید. پس شروع می‌کنید به مشاهده و علامت گذاری تک تک قوهایی که در این دریاچه زندگی می‌کنند. شما اول ده قو، بعد پنجاه قو، بعد صد قو، بعد دویست قو و بعد پانصد قو را مشاهده و علامت گذاری می‌کنید و می‌بینید همه‌ی قوها تا پانصدمین قو سفید هستند. آنوقت شما به کمک استقراء علمی نتیجه می‌گیرید که تمام قوهای ساکن در این دریاچه، سفید هستند. اما اگر روزی در گوشه‌ای از این دریاچه، شخصی قوی سیاهی پیدا کند، کل نتیجه‌گیری شما روی هواست و استدلال شما بالکل باطل می‌شود.
اما در مورد ریاضیات چطور؟
ما با اغماض نام نوع مهمی از روش استدلال در ریاضیات را استدلال استقرایی می‌گذاریم، اما در واقع این استدلال نیز نوعی استدلال قیاسی (deduction) است. مثلا فرض کنید می‌خواهیم اثبات کنیم که بالا رفتن از یک نردبان میسر است. در مرحله‌ی اول اثبات می‌کنیم که بالا رفتن از پلهی اول نردبان میسر است. سپس اثبات می‌کنیم که اگر به هر پله‌ای (پلهی nاُم) برسیم، می‌توانیم به پلهی بالاتر از آن (پلهی (n+1)اُم) نیز برسیم. در اینجا مهم نیست آن پله چندم است. ما فقط باید اثبات کنیم که با رسیدن به هر پله‌ای، می‌توانیم به پلهی بعد از آن نیز برسیم. حالا این پله می‌خواهد پلهی دوم باشد، یا پلهی دهم، یا پلهی صدم، یا پلهی صد هزارم. شکل ریاضی آن اینکه اگر فرض کنیم یک رابطه، برای جمله‌ی nاُم صحیح باشد، (به کمک قیاس) باید اثبات کنیم که جمله‌ی (n+1)اُم نیز صحیح است. چون این n می‌تواند هر مقداری باشد، ما در واقع توانسته‌ایم یک حکم کلی را اثبات کنیم.
اساس بسیاری از اثبات‌های ریاضیات نیز همین است و برخلاف استقراء علمی، این روش اثبات در ریاضیات بسیار دقیق و پرکاربرد است.
– اَبا اِباد