تصور کنید که یک محفظه‌ی بسته به شکل سیلندر پیستون رو از هوا پر کرده اید. با یک دست خود پیستون رو ثابت نگه داشته و به آهستگی شروع به تزریق هوا به داخل محفظه می‌کنید.
چه اتفاقی می افتد؟
احساس می‌کنید که رفته رفته باید نیروی بیشتری به پیستون وارد کنید تا آن را ثابت نگه دارید.
منشا این نیرو کجاست؟
ما می‌دانیم که مولکول‌های هوا داخل محفظه ساکن نیستند و پیوسته در حال حرکت اند. این مولکول‌ها با یکدیگر و با دیواره‌های محفظه برخورد می‌کنند. برخورد این مولکول‌ها با پیستون نیرویی به پیستون وارد می کند که ما باید به این نیرو غلبه کنیم تا بتوانیم پیستون رو ثابت نگه داریم. اگر از اصطکاک پیستون و سیلندر صرف نظر کنیم، نیرویی که مولکول‌های هوا در اثر برخورد به پیستون وارد می‌کنند، با نیرویی که ما برای ثابت نگه داشتن پیستون صرف می‌کنیم با هم برابر است. اگر سطح اون پیستون بزرگتر باشد، تعداد برخوردها بیشتر و نیرویی که ما لازم داریم بیشتر است.
پس واحدی رو تعریف می‌کنیم که مستقل از سطح پیستون باشد. واحد فشار که حاصل نیرو تقسیم بر سطح است.
P=F/A
پس تا اینجا متوجه شدیم که اگر هوای بیشتری داخل محفظه تزریق کنیم و پیستون رو ثابت نگه داریم، فشار هوای داخل محفظه افزایش می‌کند.
برای اینکه معیاری داشته باشیم از مقدار هوایی که تزریق می‌کنیم، می‌توانیم بگوییم تعداد مولکول‌های هوا که در واحد حجم (یا دانسیته rho) داخل سیلندر وجود دارند. یعنی rho=N/V خب حالا می‌توانیم بگوییم که فشار هوا با دانسیته رابطه‌ی مستقیم دارد. حالا فرض کنیم که دمای سیلندر رو افزایش بدهیم. دوباره می بینیم که باید نیروی بیشتری برای ثابت نگه داشتن پیستون صرف کنیم. اتفاقی که می افتد این است که با افزایش دما، مولکول‌های سریع تر حرکت می کنند و در اثر برخورد با پیستون، مومنتوم بیشتری وارد می‌کنند و در واقع فشار داخل محفظه افزایش پیدا می کند. پس فشار با دما هم رابطه‌ی مستقیم دارد. ینی با افزایش دما فشار افزایش پیدا می کند. پس می توانیم بگوییم فشار با دما و دانسیته رابطه‌ی مستقیم دارد.
حالا می توانیم یک معادله به شکل زیر تعریف کنیم
P=rho×K×T
ثابت K (ثابت بولتزمن) رو فقط به این خاطر آوردیم که تناسب رو به تساوی تبدیل کنیم.
به این معادله در ترمودینامیک معادله‌ی حالت گاز ایده‌آل گفته می شود.
برای اینکه تعداد مولکول‌ها در واحد حجم رو اندازه گیری کنیم، می توانیم وزن یک واحد حجم رو بر وزن یک مولکول تقسیم کنیم. اما از آنجایی که وزن یک مولکول بسیار کم و تعداد مولکول‌ها در واحد حجم بسیار زیاد است، با اعداد خیلی خیلی کوچک و خیلی خیلی بزرگ مواجه می شویم. برای اجتناب از این امر، می توانیم تعداد مشخصی از مولکول‌ها را در نظر بگیریم. برای این کار ما تعداد ۲۳^۱۰×۶/۰۲۲ مولکول را یک مول mol در نظر می گیریم و به عنوان مثال می گوییم که درون این محفظه n مول مولکول هوا وجود دارد. حالا این دانسیته به دانسیته مولی تغییر می کند به شکل زیر
Rho=n/V
و رابطه گاز ایده آل به شکل زیر است
P=Rho×R×T
که R ثابت گازهاست که معادل ۸/۳۱۴ است.